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<!DOCTYPE html>

<title>Binomialtest</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Binomialtest</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Ein Binomialtest ist ein <a href="Statistischer_Test" title="Statistischer Test">statistischer Test</a>, bei dem die <a href="Teststatistik" title="Teststatistik">Teststatistik</a> <a href="Binomialverteilung" title="Binomialverteilung">binomialverteilt</a> ist. Er wird verwendet, um <a href="Hypothese_(Statistik)" title="Hypothese (Statistik)">Hypothesen</a> über <a href="Statistische_Variable" title="Statistische Variable">Merkmale</a> zu prüfen, die genau zwei Ausprägungen annehmen können (<a href="Dichotomie" title="Dichotomie">dichotome</a> Merkmale).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Hypothesen_und_Teststatistik">Hypothesen und Teststatistik</h2></div>

Mit dem Binomialtest können folgende Hypothesenpaare für die unbekannte Wahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> eines Merkmals in der Grundgesamtheit getestet werden:

<th>Test

</th>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43910602a221b7a4c373791f94793e3008622070.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{0}}" loading="lazy">

</th>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d4d9a872a55b209f2eb7cc23a71e5e1541bd1f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1}}" loading="lazy">

</th></tr>

<tr>

<td>zweiseitig

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=p_{0}\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/550982ee552d235fa0559d7a7d04702a3ad22fa2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.968ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p=p_{0}\,}" loading="lazy">

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\neq p_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cfb1e77c4d35a80d5cb67f3afd5c2fd98015bc9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:6.581ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle p\neq p_{0}}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td>rechtsseitig

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=p_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1367fd3e8c7ec5a28efca5947f85649605fb1c75.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.581ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p=p_{0}}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p\leq p_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\leq p_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd967beea5aa05f92893ccc5bcffc97f11654640.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.581ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle p\leq p_{0}}" loading="lazy">

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p>p_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a88ccc3612c597afb1eff425efd4ac350f2de06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.581ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle p>p_{0}}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td>linksseitig

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=p_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1367fd3e8c7ec5a28efca5947f85649605fb1c75.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.581ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p=p_{0}}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p\geq p_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\geq p_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0abca2d94e4821975a4df66980840cbff22470cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.581ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle p\geq p_{0}}" loading="lazy">

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p<p_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21896aa4858fa3b8e4d015756ea71b73c77eb152.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.581ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle p<p_{0}}" loading="lazy">

</td></tr></tbody></table>

Die <a href="Teststatistik" title="Teststatistik">Teststatistik</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> gibt an, wie oft das Merkmal in einer zufälligen <a href="Zufallsstichprobe" title="Zufallsstichprobe">Stichprobe</a> vom <a href="Stichprobenumfang" class="mw-redirect" title="Stichprobenumfang">Umfang</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> aufgetreten ist. Unter der Nullhypothese <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{0}\colon p=p_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{0}\colon p=p_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e034585c0653926591802857d350e8727f8f0ddd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.511ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{0}\colon p=p_{0}}" loading="lazy"> ist die Teststatistik <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(p_{0},n)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(p_{0},n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b9b486e9de194a5a88cb3c5862cd8b021a0b6dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.226ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(p_{0},n)}" loading="lazy">-verteilt, das heißt

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(X=i)=B(i|p_{0},n)={\binom {n}{i}}p_{0}^{i}(1-p_{0})^{n-i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f5f736ce8eeb3139a6947270de41a71105c2b65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:43.447ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle P(X=i)=B(i|p_{0},n)={\binom {n}{i}}p_{0}^{i}(1-p_{0})^{n-i}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Signifikanzniveau_und_kritische_Werte">Signifikanzniveau und kritische Werte</h2></div>

Da die Teststatistik diskret verteilt ist, kann das vorgegebene <a href="Signifikanzniveau" class="mw-redirect" title="Signifikanzniveau">Signifikanzniveau</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> in der Regel nicht eingehalten werden. Daher wird gefordert, die kritischen Werte so zu wählen, dass für ein möglichst großes exaktes Signifikanzniveau <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{\text{ex}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{\text{ex}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2032a65326b8a3ed9e03bb34a508c14b471b667d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.318ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{\text{ex}}}" loading="lazy"> gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{\text{ex}}\leq \alpha }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{\text{ex}}\leq \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef593bf5ebb9086d7bfde2d8dd98d5573c248865.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.904ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{\text{ex}}\leq \alpha }" loading="lazy">.

Für den zweiseitigen Test werden daher als kritische Werte das größte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77b7dc6d279091d354e0b90889b463bfa7eb7247.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.061ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{1}}" loading="lazy"> und das kleinste <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b30ba1b247fb8d334580cec68561e749d24aff2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.061ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{2}}" loading="lazy"> bestimmt werden, für die gilt

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=0}^{c_{1}}B(i|p_{0},n)\leq \alpha /2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a85e81eeef28c4c85df0c468bdfca9935561d41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:20.328ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=0}^{c_{1}}B(i|p_{0},n)\leq \alpha /2}" loading="lazy"> und</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=c_{2}}^{n}B(i|p_{0},n)\leq \alpha /2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f22d834601cb30ccd9d08ca1fa00842b04e75a14.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:20.362ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=c_{2}}^{n}B(i|p_{0},n)\leq \alpha /2}" loading="lazy">.</li></ul>

Das exakte Signifikanzniveau ergibt sich als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{\text{ex}}=\sum _{i=0}^{c_{1}}B(i|p_{0},n)+\sum _{i=c_{2}}^{n}B(i|p_{0},n)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{\text{ex}}=\sum _{i=0}^{c_{1}}B(i|p_{0},n)+\sum _{i=c_{2}}^{n}B(i|p_{0},n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c596b610d9a7b9644c789604204776f641734e7e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:36.125ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{\text{ex}}=\sum _{i=0}^{c_{1}}B(i|p_{0},n)+\sum _{i=c_{2}}^{n}B(i|p_{0},n)}" loading="lazy">. Für die beiden <a href="Einseitiger_Test" class="mw-redirect" title="Einseitiger Test">einseitigen Tests</a> wird analog verfahren.

<th>Test

</th>

<th>Kritische Werte

</th>

<th>Kritischer Bereich

</th>

<th>Grenze(n)

</th></tr>

<tr>

<td>zweiseitig

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{1}+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/402ec37bece182cf0b6b7ce6eeacebfee388503b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.064ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle c_{1}+1}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{2}-1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{2}-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b063ce1dc1146f3fefa1e0e3c5a1d2b62eb3c67.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.064ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle c_{2}-1}" loading="lazy">

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{0,\dotsc ,c_{1}\}\cup \{c_{2},\dotsc ,n\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df338f68095876e6a12e0595bfe0f454673d6a01.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.268ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{0,\dotsc ,c_{1}\}\cup \{c_{2},\dotsc ,n\}}" loading="lazy">

</td>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td>rechtsseitig

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a0b796f5fc5946c0f14d61bbda06023ab6f4abf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.01ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle c-1}" loading="lazy">

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{c,\dotsc ,n\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff44a4dd64fba243a166e2d6c35b095e887a3765.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.905ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{c,\dotsc ,n\}}" loading="lazy">

</td>

<td>c = kleinster Wert, für den <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i=c}^{n}B(i|p_{0},n)=\alpha _{\text{ex}}\leq \alpha }">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=c}^{n}B(i|p_{0},n)=\alpha _{\text{ex}}\leq \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1a6467a7c2cbfc5e0120ccdf446450d570234b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:24.419ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=c}^{n}B(i|p_{0},n)=\alpha _{\text{ex}}\leq \alpha }" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td>linksseitig

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/476247430e007b34317edf5f2cabd8e592082690.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.01ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle c+1}" loading="lazy">

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{0,\dotsc ,c\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b54b703e846984592b56d755f6aadd418163654.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.672ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{0,\dotsc ,c\}}" loading="lazy">

</td>

<td>c = größter Wert, für den <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i=0}^{c}B(i|p_{0},n)=\alpha _{\text{ex}}\leq \alpha }">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=0}^{c}B(i|p_{0},n)=\alpha _{\text{ex}}\leq \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c083f29cd4b4161f1e42866f40b3f21c92c9851a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:24.419ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=0}^{c}B(i|p_{0},n)=\alpha _{\text{ex}}\leq \alpha }" loading="lazy">

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Approximation_der_Verteilung_der_Teststatistik">Approximation der Verteilung der Teststatistik</h2></div>

Die binomialverteilte Teststatistik kann mit einer anderen Verteilung approximiert werden. Die dafür notwendigen Approximationsbedingungen können je nach Literaturquelle variieren.

<th>Verteilung

</th>

<th>Parameter

</th>

<th>Approximationsbedingungen

</th></tr>

<tr>

<td><a href="Poisson-Verteilung" title="Poisson-Verteilung">Poisson-Verteilung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\approx Po(\lambda )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\approx Po(\lambda )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83bf368e9a272c248a0c45b49d7e169f3b7fa298.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.116ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X\approx Po(\lambda )}" loading="lazy">

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda =np_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/079bab9802cfd63d61111f474db65de9758d262a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.072ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda =np_{0}}" loading="lazy">

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n>10}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e37c099ae3fa384d0b46078b55bcd6e57ee2971.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.818ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n>10}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{0}<0{,}05}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{0}<0{,}05}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7a926923df6b47b8acb3e88d64db60644e64dcd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:9.546ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p_{0}<0{,}05}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">Normalverteilung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\approx N(\mu ,\sigma ^{2})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\approx N(\mu ,\sigma ^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75b3f785c867acb751e225e5cb8c0f19c7624f68.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.772ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle X\approx N(\mu ,\sigma ^{2})}" loading="lazy">

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu =np_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/69e2c9558eff878279b9a88663eb891be61d0196.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.119ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu =np_{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ^{2}=np_{0}(1-p_{0})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{2}=np_{0}(1-p_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7dfd9efd3b68c3c88df66027cb13a59947f70a9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.137ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{2}=np_{0}(1-p_{0})}" loading="lazy">

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle np_{0}(1-p_{0})>9}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e1cd9bbe95130b2a418a8da898ce5015b7c1b9d9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.915ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle np_{0}(1-p_{0})>9}" loading="lazy">

</td></tr></tbody></table>

Im Fall der Approximation der Normalverteilung kann statt der Teststatistik <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> auch gleich die Teststatistik <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Pi =X/n\approx N\left(p_{0},{\tfrac {p_{0}(1-p_{o})}{n}}\right)}">

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Pi =X/n\approx N\left(p_{0},{\tfrac {p_{0}(1-p_{o})}{n}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d2b2e9c906c4436ff9cd70d32c319baf107f6248.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:28.474ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \Pi =X/n\approx N\left(p_{0},{\tfrac {p_{0}(1-p_{o})}{n}}\right)}" loading="lazy"> betrachtet werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<ol><li>Hellseherische Fähigkeit versus Raten der Farbe einer zufällig gewählten Spielkarte (aus <a href="Statistischer_Test" title="Statistischer Test">statistischer Test</a>): Bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-maliger Durchführung erreicht eine Testperson <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> Treffer (Farbe richtig genannt). Ab welcher Trefferzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> sollte man die Nullhypothese <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{0}\colon p={\tfrac {1}{4}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{0}\colon p={\tfrac {1}{4}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/590ae8cb0252a1085029345a485a1761fc6a56f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:9.945ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle H_{0}\colon p={\tfrac {1}{4}}}" loading="lazy"> verwerfen und die Alternativhypothese <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\colon p>{\tfrac {1}{4}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\colon p>{\tfrac {1}{4}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eea6d75db39a1ac3a1b9d159062a4b41552073ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:9.945ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\colon p>{\tfrac {1}{4}}}" loading="lazy"> (also tatsächliche hellseherische Fähigkeit) für <a href="Plausibilit%C3%A4t" title="Plausibilität">plausibler</a> halten?<a href="#cite_note-1">[1]</a> Wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43910602a221b7a4c373791f94793e3008622070.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{0}}" loading="lazy"> richtig ist, dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> binomialverteilt mit Parametern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> und 1/4. Die Wahrscheinlichkeit, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> oder mehr Treffer durch Raten zu erzielen, beträgt dann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i=k}^{n}B(i|{\tfrac {1}{4}},n)}">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=k}^{n}B(i|{\tfrac {1}{4}},n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b4e28562f08056f18cdce9d80862e9a6f71b13a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:12.851ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=k}^{n}B(i|{\tfrac {1}{4}},n)}" loading="lazy">. Bei einem <a href="Signifikanzniveau" class="mw-redirect" title="Signifikanzniveau">Signifikanzniveau</a> von 1 % verwirft man die Nullhypothese, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\geq c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\geq c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7bddeb567261d889db0c0e73d1ac4834d200b365.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.085ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle X\geq c}" loading="lazy">. Hier ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> der kleinste Wert, für den <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i=c}^{n}B(i|{\tfrac {1}{4}},n)\leq 1\,\%}">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=c}^{n}B(i|{\tfrac {1}{4}},n)\leq 1\,\%}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be2a766c8e956f18a1bd804b4b1b0351a2fb982d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:19.435ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=c}^{n}B(i|{\tfrac {1}{4}},n)\leq 1\,\%}" loading="lazy"> ist. Beispielsweise für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=100}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=100}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71cd41fc765ed6d699aa54d45e56247e80122645.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.981ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=100}" loading="lazy"> ergibt sich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c=36}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=36}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/045eafc0ad599dd27dbc8ba454897fe9fd56a6b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.43ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c=36}" loading="lazy">. Die Testperson müsste also unter den genannten Bedingungen mindestens bei 36 von 100 Versuchen richtig liegen, damit ihre hellseherischen Fähigkeiten für plausibel gehalten werden.</li>

<li>In einer <a href="Multiple_Choice" title="Multiple Choice">Multiple-Choice-Prüfung</a> gibt es 50 Fragen und jeweils 4 Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils genau eine richtig ist. Dies führt zur gleichen Fragestellung wie das Spielkartenbeispiel. Die Nullhypothese ist, dass ein Prüfling die Antwort zufällig ankreuzt (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{0}\colon p=1/4}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{0}\colon p=1/4}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc0d2bea307ee686aeefa1cf4c67c8bc7c675357.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.775ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle H_{0}\colon p=1/4}" loading="lazy">), und die Alternativhypothese ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\colon p>1/4}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\colon p>1/4}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0425b0b1282531133b9a3e55ba9a04d0714d3a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.775ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\colon p>1/4}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-2">[2]</a> Diese Modellierung setzt allerdings voraus, dass es keine Möglichkeit gibt, gewisse Antworten als unplausibel auszuschließen.</li>

<li>Eine <a href="Urnenmodell" title="Urnenmodell">Urne</a> enthält 10 Kugeln, von denen jede weiß oder schwarz sein kann. Man möchte die Nullhypothese testen, dass alle Kugeln weiß sind (also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{0}\colon p=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{0}\colon p=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26635b4469e390598183e1457deb9db5688ba29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.45ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{0}\colon p=0}" loading="lazy">), und zieht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Kugeln mit Zurücklegen. Die Alternativhypothese ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\colon p>0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\colon p>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c2b466b36155e8df23a620cf36c5fc60bb916ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.45ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\colon p>0}" loading="lazy"> und man verwirft die Nullhypothese, sobald eine oder mehr schwarze Kugeln gezogen worden sind: Der Ablehnungsbereich ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{1,\dotsc ,n\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{1,\dotsc ,n\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c266f6754cf30ea783ecc0db3b4b9ae92a1badb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.06ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{1,\dotsc ,n\}}" loading="lazy">. Der <a href="Statistische_Signifikanz" title="Statistische Signifikanz">Fehler 1. Art</a> ist gleich 0, da unter der Nullhypothese keine schwarze Kugel gezogen werden kann. Der Ablehnungsbereich ist also offenbar unabhängig vom Signifikanzniveau. Der <a href="Statistische_Signifikanz" title="Statistische Signifikanz">Fehler 2. Art</a> ist maximal, falls genau eine schwarze Kugel vorhanden ist, und beträgt dann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0{,}9^{n}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0{,}9^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a034239ac18a55d43af8a6133d68f0e332a80b7e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.19ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 0{,}9^{n}}" loading="lazy">.</li>

<li>(Gegenbeispiel) Gleiche Situation, aber Ziehen ohne Zurücklegen (es werden maximal <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=10}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=10}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fecadd7726f4d4c6c390c2f2e73533d7a3729ab0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.818ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=10}" loading="lazy"> Kugeln gezogen). Wie im vorigen Fall verschwindet der Fehler 1. Art. Der Fehler 2. Art bestimmt sich aber aus einer <a href="Hypergeometrische_Verteilung" title="Hypergeometrische Verteilung">hypergeometrischen Verteilung</a>. Er ist maximal für eine schwarze Kugel und beträgt dann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (10-n)/10}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (10-n)/10}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/66750835739e510bc4b3d129516bfa70ffe6c23c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.857ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (10-n)/10}" loading="lazy">. Es handelt sich also nicht um einen Binomialtest.</li>

<li>Mit dem Dreieckstest möchte man herausfinden, ob es einen Geschmacksunterschied zwischen zwei Produkten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> gibt. Hierfür werden drei Proben im gleichseitigen Dreieck angeordnet, wobei eine Ecke des gedachten Dreiecks nach oben zeigt. Zwei der drei Proben gehören zum Produkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und eine Probe gehört zum Produkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> oder umgekehrt. Die Aufgabe des Probanden besteht nun darin, dasjenige Produkt zu finden, das nur einmal vorkommt. Die Wahrscheinlichkeit durch bloßes Raten die richtige Antwort zu geben beträgt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{3}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{3}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7093420fb1b77a06432a4e0d9eba91705cef6d02.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:1.999ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{3}}}" loading="lazy">. Insgesamt nehmen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> verschiedene Probanden an dem Versuch teil. Die statistischen Berechnungen entsprechen denen des ersten Beispiels mit dem Unterschied, dass der zu testende Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{3}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{3}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7093420fb1b77a06432a4e0d9eba91705cef6d02.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:1.999ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{3}}}" loading="lazy"> statt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{4}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{4}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2dfb63ee75ec084f2abb25d248bc151a2687508.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:1.999ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{4}}}" loading="lazy"> lautet.</li></ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anmerkungen">Anmerkungen</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Wir betrachten für p den Parameterbereich [1/4,1], um zu erreichen, dass Nullhypothese und Alternativhypothese den gesamten Parameterbereich überdecken. Bei absichtlichem Nennen einer falschen Farbe könnte man zwar auch auf hellseherische Fähigkeiten schließen, aber wir nehmen an, dass die Testperson eine möglichst hohe Trefferzahl erzielen will.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Wie im Spielkartenbeispiel nehmen wir an, dass der Parameterbereich [1/4,1] ist (Prüfling möchte eine möglichst hohe Trefferzahl erreichen).

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Norbert_Henze" title="Norbert Henze">Norbert Henze</a>: Stochastik für Einsteiger. 8. Auflage. Vieweg, 2010.</li>

<li>Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 8. Auflage. Vieweg, 2005.</li>

<li>Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 3. Auflage. Harri Deutsch, 2003.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Binomial_test?uselang=de">Commons: Binomial test</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>